Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=ln（n+1）-a．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={e^{a_n}}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），定義：$\sum_{k=1}^n{{b_k}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}}$，求$\sum_{k=1}^n{b_k}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1求得a₁，當(dāng)n≥2，由a_n=S_n-S_n-1，代入驗(yàn)證當(dāng)n=1是否成立，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求得數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式，根據(jù)新定義即可求得

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=ln2-a；當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=ln（{n+1}）-a-（{lnn-a}）=ln（{n+1}）-a-lnn+a=ln（{n+1}）-lnn=ln\frac{n+1}{n}$，
當(dāng)a=0時(shí)，a₁=ln2，適合此等式，當(dāng)a≠0時(shí)，a₁=ln2-a≠ln2，不適合此等式，
∴當(dāng)a=0時(shí)，${a_n}=ln\frac{n+1}{n}（{n∈{N^*}}）$；
當(dāng)a≠0時(shí)，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{ln2-a，n=1}\\{ln\frac{n+1}{n}，n≥2}\end{array}}\right.$．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，${b_n}={e^{a_n}}={e^{ln\frac{n+1}{n}}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\sum_{k=1}^n{{b_k}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}=\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}}=n+1$．
當(dāng)a≠0時(shí)，${b_n}={e^{a_n}}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{e^a}，n=1}\\{ln\frac{n+1}{n}，n≥2}\end{array}}\right.$，
∴$\sum_{k=1}^n{{b_k}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}={e^{\frac{2}{a}}}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}={e^{\frac{n+1}{a}}}}$．
綜上，$\sum_{k=1}^n{{b_k}=\frac{n+1}{e^a}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，考查數(shù)列應(yīng)用，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．