【題目】已知函數(shù)且在上的最大值為,

1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)判斷函數(shù)f(x)在(0π)內(nèi)的零點個數(shù),并加以證明

【答案】122個零點.

【解析】

1)由題意,可借助導數(shù)研究函數(shù)上的單調(diào)性,確定出最值,令最值等于,即可得到關(guān)于a的方程,由于a的符號對函數(shù)的最值有影響,故可以對a的取值范圍進行討論,分類求解;(2)借助導數(shù)研究函數(shù)fx)在(0,π)內(nèi)單調(diào)性,由零點判定定理即可得出零點的個數(shù).

(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對于任意的x(0, ),

sinx+xcosx>0,a=0,f(x)= ,不合題意;

a<0,x(0,),f′(x)<0,從而f(x)(0, )單調(diào)遞減,

又函數(shù)f(x)=axsinx (aR)[0, ]上圖象是連續(xù)不斷的,

故函數(shù)在[0, ]上的最大值為f(0),不合題意;

a>0,x(0, ),f′(x)>0,從而f(x)(0, )單調(diào)遞增,

又函數(shù)f(x)=axsinx (aR)[0, ]上圖象是連續(xù)不斷的,

故函數(shù)在[0, ]上上的最大值為f()=a=,解得a=1,

綜上所述,;

(2)函數(shù)f(x)(0,π)內(nèi)有且僅有兩個零點。證明如下:

(I),f(x)=xsinx,從而有f(0)= <0,f()=π32>0,

又函數(shù)在[0, ]上圖象是連續(xù)不斷的,所以函數(shù)f(x)(0, )內(nèi)至少存在一個零點,

又由(I)f(x)(0, )單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)(0, )內(nèi)僅有一個零點。

x[,π],g(x)=f′(x)=sinx+xcosx

g()=1>0,g(π)=π<0,g(x)[,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,

故存在m,π),使得g(m)=0.

g′(x)=2cosxxsinx,x(,π),g′(x)<0,

從而g(x)[,π]上單調(diào)遞減。

x,m),g(x)>g(m)=0,f′(x)>0

從而f(x)(,m)內(nèi)單調(diào)遞增

故當x(,m),f(x)>f(π2)=π32>0,

從而(x)(,m)內(nèi)無零點;

x(m,π),g(x)<g(m)=0,f′(x)<0,

從而f(x)(,m)內(nèi)單調(diào)遞減。

f(m)>0,f(π)<0f(x)[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,

從而f(x)[m,π]內(nèi)有且僅有一個零點。

綜上所述,函數(shù)f(x)(0,π)內(nèi)有且僅有兩個零點。

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