Question

【題目】用一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形鐵皮（如圖1）制作成一個(gè)直角圓形彎管（如圖3）：先在矩形的中間畫(huà)一條曲線(xiàn)，并沿曲線(xiàn)剪開(kāi)，將所得的兩部分分別卷成體積相等的斜截圓柱狀（如圖2），然后將其中一個(gè)適當(dāng)翻轉(zhuǎn)拼接成直角圓形彎管（如圖3）（不計(jì)拼接損耗部分），并使得直角圓形彎管的體積最大；

（1）求直角圓形彎管（圖3）的體積；

（2）求斜截面橢圓的焦距；

（3）在相應(yīng)的圖1中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所畫(huà)的曲線(xiàn)的方程為，求出方程并畫(huà)出大致圖像；

Answer 1

【答案】（1）； （2）2； （3）見(jiàn)解析；

【解析】

（1）直角圓形彎管的體積即為圓柱的體積，要使直角圓形彎管的體積最大，可取圓柱的高為，半徑為1，計(jì)算可得所求體積；

（2）求得，以矩形的下邊的中點(diǎn)為，下邊所在直線(xiàn)為軸，建立所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)出曲線(xiàn)方程，應(yīng)用周期性和對(duì)稱(chēng)性，求得方程，再由橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的關(guān)系，可得焦距；

（3）由（2）可得方程，畫(huà)出方程表示的曲線(xiàn)．

解：（1）直角圓形彎管的體積即為圓柱的體積，

要使直角圓形彎管的體積最大，

可取圓柱的高為，

那么圓柱的底面半徑為，

即有直角圓形彎管（圖的體積為；

（2）由圖2可得橢圓短軸長(zhǎng)為，即，

可以矩形的下邊的中點(diǎn)為，

下邊所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

由周期為，可得，

再由時(shí)，；時(shí)，，

又，可得，

所求方程為，，

可得，

解得，，

可得橢圓的焦距為2；

（3）由（2）可得，方程為，，

圖象如右圖．