點M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的點,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q,若△PQM是鈍角三角形,則橢圓離心率的取值范圍是
 
分析:由圓M與X軸相切與焦點F,設(shè)M(c,y),則y=
b2
a
y=-
b2
a
,所以圓的半徑為
b2
a
,過M作MN⊥Y軸與N,則PN=NQ,MN=c,PN=NQ=
(
b2
a
)
2
-c2
,由∠PQM為鈍角,知
(a2-c22
2c2
>2c2
,由此能夠求出橢圓離心率的取值范圍.
解答:解:∵圓M與X軸相切于焦點F,
∴不妨設(shè)M(c,y),則(因為相切,則圓心與F的連線必垂直于X軸)
M在橢圓上,則y=
b2
a
y=-
b2
a
(a2=b2+c2),
∴圓的半徑為
b2
a

過M作MN⊥Y軸與N,則PN=NQ,MN=c(PN,NQ均為半徑,則△PQM為等腰三角形)
∴PN=NQ=
(
b2
a
)
2
-c2

∵∠PQM為鈍角,則∠PMN=∠QMN>45°
即PN=NQ>MN=c
所以得
(
b2
a
)
2
-c2
>c,即
b4
a2
-c2c2

(a2-c22
2c2
>2c2
,
a2-2c2+c2e2>2c2
1
e2
-4+e2>0,
e4-4e2+1>0
(e2-2)2-3>0
e2-2<-
3
(0<e<1)
e2<-
3
+2
∴0<e<
6
-
2
2

故答案為:(0,
6
-
2
2
).
點評:本題考查橢圓的離心率的取值范圍,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點M是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上一點,F(xiàn)1、F2分別為C的左、右焦點,|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積為
4
3
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)N(0,2),過點p(-1,-2)作直線l,交橢圓C異于N的A、B兩點,直線NA、NB的斜率分別為k1、k2,證明:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知點B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點,過B作斜率為1的直線交橢圓于點M,點P在y軸上,且PM∥x軸,
BP
BM
=9,若點P的坐標為(0,t),則t的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一點,過M作斜率分別為k1,k2的直線,交橢圓于A,B兩點,且A,B關(guān)于原點對稱,則k1k2=-
b2
a2
.類比橢圓的這個性質(zhì),設(shè)M是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上的一點,過M作斜率分別為k1,k2的直線,交雙曲線于A,B兩點,且A,B關(guān)于原點對稱,則k1•k2=
b2
a2
b2
a2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知點M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一點,過M作斜率分別為k1,k2的直線,交橢圓于A,B兩點,且A,B關(guān)于原點對稱,則k1k2=-
b2
a2
.類比橢圓的這個性質(zhì),設(shè)M是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上的一點,過M作斜率分別為k1,k2的直線,交雙曲線于A,B兩點,且A,B關(guān)于原點對稱,則k1•k2=______.

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