Question

12．已知，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|．
（1）當a=1，b=2時，求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若a，b∈R⁺，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，求證：f（x）≥4．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質證明即可．

解答 解：（1）當a=1，b=2時，不等式f（x）＜4化為|x+1|+|x-2|＜4，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x＜3}\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{3＜4}\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x＜5}\end{array}$，
解得$-\frac{3}{2}＜x≤-1$或-1＜x＜2或$2≤x＜\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＜4的解集為$\{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{5}{2}\}$；
（2）f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|
=|a+b|=$a+b=（{a+b}）（{\frac{1}{a}+\frac{1}}）=2+\frac{a}+\frac{a}$$≥2+2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}=4$，
當且僅當$\frac{a}=\frac{a}$，即$b=a=\frac{1}{2}$時“=”成立，
所以f（x）≥4．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質以及轉化思想，是一道中檔題．