Question

如圖，過圓x²+y²=4與x的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點(diǎn)H作圓的切線，交AC、BD于C、D兩點(diǎn)，設(shè)AD、BC的交點(diǎn)為R．
（1）求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡E方程；
（2）過曲線E的右焦點(diǎn)作直線l交曲線E于M、N兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，記

PM

=λ1

MF

，

PN

=λ2

NF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4．由題意得以H為切點(diǎn)的圓的切線的方程為x₀x+y₀y=4．進(jìn)而求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，可求出直線AD與BC的方程，聯(lián)立兩條直線的方程可得動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程．
（2）由（1）得曲線E是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且其右焦點(diǎn)為F（

3

，0），分情況討論①當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，M，N，P三點(diǎn)在x軸上，得M，N，P的坐標(biāo)進(jìn)而表示出λ₁+λ₂的數(shù)值．②當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：x=my+

3

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

3

m

），且設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．再表達(dá)出λ₁+λ₂的表達(dá)式結(jié)合著根與系數(shù)的關(guān)系得到其為定值-8．

解答：解：（1）設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4
由題意得y₀≠0，且以H為切點(diǎn)的圓的切線的斜率為：-

x0

y0

，
故切線的方程為：y-y0=-

x0

y0

(x-x0)
即以H為切點(diǎn)的圓的切線方程為：x₀x+y₀y=4．
∵A（-2，0），B（2，0）將x=±2代入上述方程得C（-2，

4+2x0

y0

），D（2，

4-2x0

y0

）
則直線AD的方程為：

y

4-2x0 y0

=

x+2

4

，直線BC的方程為：

y

4+2x0 y0

=

x+2

-4

，
將兩式相乘并化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）由（1）得曲線E是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且其右焦點(diǎn)為F（

3

，0），
①當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，M，N，P三點(diǎn)在x軸上，
不妨設(shè)M（2，0），N（-2，0）且P（0，0），此時(shí)有|PM|=2，|MF|=2-

3

，|PN|=2，|NF|=2+

3

所以λ₁+λ₂=

PM

MF

+

PN

NF

=

|PM|

|MF|

-

|PN|

|NF|

=-

2

2- 3

-

2

2+ 3

=-8．
②當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：x=my+

3

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

3

m

），且設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立

x=my+ 3 x2+4y2=4

消去x可得：(m2+4)y2+2

3

my-1=0
則y1+ y2=

-2 3 m

m2+4

，y1y2=

-1

m2+4

所以λ₁+λ₂=

y1+ 3 m

- y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-2-

3

m

•

y1+y2

y1y2

=-8．
所以λ₁+λ₂為定值為-8．

點(diǎn)評(píng)：定值、定點(diǎn)問題是高考考查的重點(diǎn)，此類問題多與直線方程、圓錐曲線方程有關(guān)，解決此類問題得到關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系正確的表達(dá)出λ₁+λ₂的表達(dá)式，進(jìn)行化簡(jiǎn)可得定值．