如圖,過圓x2+y2=4與x軸的兩個交點A、B,作圓的切線AC、BD,再過圓上任意一點H作圓的切線,交AC、BD于C、D兩點,設(shè)AD、BC的交點為R,
(1)求動點R的軌跡E的方程;
(2)過曲線E的右焦點F作直線l交曲線E于M、N兩點,交y軸于P點,且記12,求證:λ12為定值.
解:(1)設(shè)點H的坐標(biāo)為(x0,y0),則x+y=4,
由題意可知y0≠0,且以H為切點的圓的切線的斜率為:-,
故切線方程為:y-y0=-(x-x0),
展開得x0x+y0y=x02+y02=4,
即以H為切點的圓的切線方程為:x0x+y0y=4,
∵A(-2,0),B(2,0),
將x=±2代入上述方程可得點C,D的坐標(biāo)分別為C(-2,),D(2,),
則lAD,①,
及l(fā)BC,②
將兩式相乘并化簡可得動點R的軌跡E的方程為:x2+4y2=4,即+y2=1。
(2)由(1)知軌跡E為焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F(,0),
(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率為0時,M、N、P三點在x軸上,
不妨設(shè)M(2,0),N(-2,0),且P(0,0),
此時有|PM|=2,|MF|=2-,|PN|=2,|NF|=2+,
所以λ12=
(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)直線MN的方程是:x=my+(m≠0),
則點P的坐標(biāo)為(0,-),
且設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立消去x可得:(m2+4)y2+2my-1=0,
則y1+y2=,y1y2=,
λ12==-8(定值).
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精英家教網(wǎng)如圖,過圓x2+y2=4與x的兩個交點A、B,作圓的切線AC、BD,再過圓上任意一點H作圓的切線,交AC、BD于C、D兩點,設(shè)AD、BC的交點為R.
(1)求動點R的軌跡E方程;
(2)過曲線E的右焦點作直線l交曲線E于M、N兩點,交y軸于P點,記
PM
=λ1
MF
,
PN
=λ2
NF
,求證:λ12為定值.

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(2011•臨沂二模)如圖,過圓x2+y2=4與x軸的兩個交點A、B作圓的切線AC、BD,再過圓上任意一點H作圓的切線,交AC、BD與C、D兩點,設(shè)AD、BC的交點為R.
(I)求動點R的軌跡E的方程;
(II)設(shè)E的上頂點為M,直線l交曲線E于P、Q兩點,問:是否存在這樣的直線l,使點G(1,0)恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.

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(Ⅰ)求動點R的軌跡E的方程;
(Ⅱ)過曲線E的右焦點作直線l交曲線E于M,N兩點,交y軸于P點,且記,求證:λ12為定值。

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(I)求動點R的軌跡E的方程;
(II)設(shè)E的上頂點為M,直線l交曲線E于P、Q兩點,問:是否存在這樣的直線l,使點G(1,0)恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.

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