(2011•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
sinx
x

(1)判斷下列三個(gè)命題的真假:
①f(x)是偶函數(shù);②f(x)<1;③當(dāng)x=
3
2
π
時(shí),f(x)取得極小值.
其中真命題有
①②
①②
;(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
(2)滿足f(
6
)<f(
6
+
π
6
)
的正整數(shù)n的最小值為
9
9
分析:(1)對(duì)于①,考察證明f(-x)與f(x)的關(guān)系得證;對(duì)于②針對(duì)函數(shù)f(x)=
sinx
x
的性質(zhì),只須考慮當(dāng)0<x<
π
2
時(shí)的函數(shù)值即可,再利用單位圓中的三角函數(shù)線,通過(guò)面積關(guān)系證明sinx<x.對(duì)于③,利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.
(2)分別令n=1,2,3,4,5,…,9.求出f(
6
),f(
6
+
π
6
)
函數(shù)值,再比較大小即可得出答案.
解答: (1)證明:函數(shù)f(x)=
sinx
x
的定義域?yàn)閤≠0,
當(dāng)x≠0時(shí),f(-x)=
sin(-x)
-x
=
-sinx
-x
=
sinx
x
=f(x),
∴f(x)是偶函數(shù);①正確;
對(duì)于②,針對(duì)函數(shù)f(x)=
sinx
x
的性質(zhì),只須考慮當(dāng)0<x<
π
2
時(shí)的函數(shù)值即可,
如圖,在單位圓中,有sinx=MA,
連接AN,則S△OAN<S扇形OAN,
設(shè)
AN
的長(zhǎng)為l,則x=
l
r
=l
,
1
2
ON•MA<
1
2
ON•x
,即MA<x,
又sinx=MA,
∴sinx<x,∴f(x)=
sinx
x
<1
,②正確;
f′(x)=
(sinx)′x-sinx•x′
x2
=
xcosx-sinx
x2

xcosx-sinx
x2
=0得xcosx-sinx=0,
即tanx=x,但當(dāng)x=
3
2
π
時(shí),不滿足tanx=x,
故當(dāng)x=
3
2
π
時(shí),f(x)取不到極小值,故③錯(cuò).
故答案為:①②.
(2)當(dāng)n=1時(shí),
6
=
π
6
,
6
+
π
6
=
π
3
,不滿足f(
6
)<f(
6
+
π
6
)


當(dāng)n=2時(shí),
6
=
π
3
,
6
+
π
6
=
π
2
,不滿足f(
6
)<f(
6
+
π
6
)
;

當(dāng)n=8時(shí),
6
=
3
,
6
+
π
6
=
2
,不滿足f(
6
)<f(
6
+
π
6
)
;
當(dāng)n=9時(shí),
6
=
2
6
+
π
6
=
3
,滿足f(
6
)<f(
6
+
π
6
)

故滿足f(
6
)<f(
6
+
π
6
)
的正整數(shù)n的最小值為 9.
故答案為:9.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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π+1
π+1

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π
4
)
的值;
(II)若x∈[0,
π
2
]
,求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值.

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2
2

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MQ
MN
的實(shí)數(shù)λ的值有(  )

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(2011•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=(ax2-x)lnx-
12
ax2+x
.(a∈R).
(I)當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=f(x)在(e,f(e))處的切線方程(e=2.718…);
(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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