Question

17．將函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，對任意a∈R，y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點(diǎn)個數(shù)的所有可能值20或者21．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象平移變換求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零點(diǎn)，而[a，a+10π]恰含10個周期，分a是零點(diǎn)，a不是零點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合圖象可得g（x）在[a，a+10π]上零點(diǎn)個數(shù)的所有可能值；

解答 解：f（x）=2sin2x，
將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位后得到y(tǒng)=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象，所以g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{5}{12}$π或x=kπ+$\frac{3}{4}$π（k∈z），
因?yàn)閇a，a+10π]恰含10個周期，所以，當(dāng)a是零點(diǎn)時(shí)，在[a，a+10π]上零點(diǎn)個數(shù)21，
當(dāng)a不是零點(diǎn)時(shí)，a+kπ（k∈z）也都不是零點(diǎn)，區(qū)間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個零點(diǎn)，故在[a，a+10π]上有20個零點(diǎn)．
綜上，y=g（x）在[a，a+10π]上零點(diǎn)個數(shù)的所有可能值為21或20．
故答案為：20或者21．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數(shù)的奇偶性、根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖象分析是解決（2）問的關(guān)鍵