Question

5．三棱錐P-ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=$\sqrt{3}$AB=2$\sqrt{3}$，O為AC中點．
（1）求證：PO⊥平面ABC；
（2）求異面直線AB與PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）直線垂直平面，只需要證明直線垂直平面內的兩條相交直線即可．由題意，因為PA=PB=PC=AC=4，AC的中點O，連接OP，OB，易得：OP⊥AC，同理可證△ABC為Rt△，OP⊥OB，AC∩BO=O且AC、OB?面ABC可得OP⊥平面ABC．
（2）利用O為AC中點，分別取PB，BC中點EF，連接OE，OF，EF，則AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO為異面直線AB與PC所成角．放在等腰三角形EOF即可求解．

解答 解：（1）證明：由題意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中點O，
連接OP，OB，易得：OP⊥AC；
∵$OP=\sqrt{P{C^2}-O{C^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$，
$AC=4，AB=2，BC=2\sqrt{3}$，
∴AC²=AB²+BC²，
故得△ABC為Rt△，
∴OB=OC=2，PB²=OB²+OP²，
∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB?面ABC，
∴OP⊥平面ABC；
（2）分別取PB，BC中點EF，連接OE，OF，EF，
則AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO為異面直線AB與PC所成角（或補角）
由（Ⅰ）知在直角三角形POB中，$OE=\frac{1}{2}PB=2$，
又$OF=\frac{1}{2}AB=1$，$EF=\frac{1}{2}PC=2$；
在等腰三角形EOF中，$cosEFO=\frac{{\frac{1}{2}OF}}{EF}=\frac{{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{4}$．
所以，異面直線AB與PC所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧，此題是中低檔題．