Question

14．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D為BC邊上的點，且$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，若$\overrightarrow{CE}$=$3\overrightarrow{EB}$，則（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AE}$=8．

Answer 1

分析 由題，已知∠BAC=120°，AB=AC=4，可將問題轉(zhuǎn)化為以向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$為基底的向量線性運算．或者由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0分析得AD⊥BC，且D為線段BC的中點，又根據(jù)$\overrightarrow{CE}$=$3\overrightarrow{EB}$可得E為BD的中點，故問題轉(zhuǎn)化為以向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AD}$為基底的向量線性運算．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0
∴AD⊥BC
又∵AB=AC=4，∠BAC=120°
∴D為BC的中點，且∠BAD=60°，AD=2
∴（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AD}$•$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=2×4×cos60°+2²
=8
故填空：8．

點評 考查平面向量基本定理，平面向量線性運算，屬于基礎(chǔ)題．