【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點P為DD1的中點,點M為BB1的中點.
(1)求證:PB1⊥平面PAC;
(2)求直線CM與平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)先證明、即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出及平面的法向量的坐標(biāo),然后由公式計算即可.
(1)證明:在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,由AB=AD=1,AA1=2,
點P為DD1的中點,點M為BB1的中點,得PC2=2,PB12=3,B1C2=5,
∴PC2+PB12=B1C2,則PB1⊥PC,
同理PB1⊥PA,又PA∩PC=P,
∴直線PB1⊥平面PAC;
(2)解:以D為坐標(biāo)原點,分別以DC,DA,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知可得,C(1,0,0),M(1,1,1),A(0,1,0),P(0,0,1),
,,,
設(shè)平面CAP的一個法向量為,
由,取z=1,得.
設(shè)直線CM與平面PAC所成角為θ,
則.
∴直線CM與平面PAC所成角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.(參考數(shù)據(jù): ,計算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取名同學(xué)(男女),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計 | |
男同學(xué) | |||
女同學(xué) | |||
總計 |
(1)能否據(jù)此判斷有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?
(2)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
(3)現(xiàn)從選擇做幾何的名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店為了解氣溫對某產(chǎn)品銷售量的影響,隨機記錄了該商店月份中天的日銷售量(單位:千克)與該地當(dāng)日最低氣溫(單位:℃)的數(shù)據(jù),如表所示:
(1)求與的回歸方程:
(2)判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);若該地月份某天的最低氣溫為,請用(1)中的回歸方程預(yù)測該商店當(dāng)日的銷售量.
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求實數(shù)的值;
(2)若上存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),f(x)=-mx2-m+ln(1-m),(m<1).
(Ⅰ)當(dāng)m=時,求f(x)的極值;
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)有且只有一個零點.
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