Question

已知函數f（x）=ln（2-x）+ax，a＞0，a∈R．
（1）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l平行于x軸，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）求函數f（x）的區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，根據切線平行于x軸，得到切線斜率k=f′（1）=a-1=0，即可求出a．
（2）先對函數進行求導，根據函數的單調性和導數之間的關系即可求函數的單調區(qū)間．
（3）討論a的取值范圍，利用函數的單調性即可求出函數f（x）的最小值．

解答： 解：（1）函數的定義域為（-∞，2），f′（x）=a+

1

x-2

，
把x=1代入f（x）得：f（1）=a，則切點坐標為（1，a），
把x=1代入導函數中得：f′（1）=a-1，則切線的斜率k=f′（1）=a-1，
∵y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l平行于x軸
∴切線斜率k=f′（1）=a-1=0，解得a=1．
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定義域為（-∞，2），
當a＞0時，f′（x）=a+

1

x-2

，
由f′（x）＞0得a+

1

x-2

＞0，解得x＜2-

1

a

，此時函數單調遞增，
∴函數的單調增區(qū)間為（-∞，2-

1

a

）．
由f′（x）=a+

1

x-2

＜0，
解得2-

1

a

＜x＜2，此時函數單調遞減，
∴函數的單調減區(qū)間為（2-

1

a

，2）．
（3）①當2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

時，f（x）在[0，1]上單調遞減，∴f_min（x）=f（1）=a．
②當0＜2-

1

a

≤1，即

1

2

＜a≤1時，f（x）在[0，2-

1

a

）上單調遞增，在（2-

1

a

，1]上單調遞減，
∵f（0）=ln2，f（1）=a，e

1

2

＜3

1

2

＜2＜e，
∴

1

2

＜ln

3

＜ln2＜lne=1，
即當

1

2

＜a＜ln2時，f_min（x）=f（1）=a．
當ln2≤a＜1時，f_min（x）=f（0）=ln2．
③當2-

1

a

≥1，即a≥1時，f（x）在[0，1]上單調遞增，
∴f_min（x）=f（0）=ln2．
綜上：當0＜a＜ln2時，f_min（x）=a．
當a≥ln2時，f_min（x）=ln2．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用利用導數研究函數函數的最值問題，要對參數a進行分類討論．