Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n有最小值，且a₃+a₅=14，a₂a₆=33，則數(shù)列{

1

anan+1

}的前100項(xiàng)的和T₁₀₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a₁=1，d=2，所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，從而得到

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出T₁₀₀的值．

解答： 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n有最小值，
且a₃+a₅=14，a₂a₆=33，
∴a₂+a₆=14，d＜0，
∴a₂，a₆是方程x²-14x+33=0的兩個(gè)根，
∴a₂=3，a₆=11，
∴

a1+d=3 a1+5d=11

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T₁₀₀=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

200-1

-

1

200+1

）
=

100

201

．
故答案為：

100

201

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．