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【題目】如圖，垂直于所在的平面，為的直徑，是弧上的一個動點（不與端點重合），為上一點，且是線段上的一個動點（不與端點重合）.

（1）求證：平面；

（2）若是弧的中點，是銳角，且三棱錐的體積為，求的值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由為的直徑，得到，又由平面，證得，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）當點位于線段上時，如圖所示：作，垂足為點，根據線面垂直的判定定，證得平面，得到是三棱錐的底面上的高，再來體積公式，列出方程，即可求解.

（1）證明：因為為的直徑，

所以根據直徑所對的圓周角是直角，可知，

因為平面，平面，所以，

又因為平面平面，所以平面，

又平面，所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）當點位于線段上時，如圖所示：作，垂足為點，

因為平面，平面，所以，

又因為，所以，

又因為平面，所以平面，

所以是三棱錐的底面上的高，

因為是弧的中點，且，

所以，且，

若三棱錐的體積為，

則，解得，

所以，所以，

所以，

綜上所述，當三棱錐的體積為時，.

練習冊系列答案
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【題目】選修4－4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)，圓的方程為.以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(Ⅰ)求直線及圓的極坐標方程；

(Ⅱ)若直線與圓交于兩點，求的值.

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【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻．為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”他們的調查結果如下：

（1）完成如下列聯表，并判斷是否有99%的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本．

（�。┣蟪槿〉奈目粕屠砜粕娜藬�；

（ⅱ）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望．參考數據：

，．

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【題目】某單位從一所學校招收某類特殊人才,對位已經選拔入圍的學生進行運動協(xié)調能力和邏輯思維能力的測試,其測試結果如下表:

例如,表中運動協(xié)調能力良好且邏輯思維能力一般的學生有人.由于部分數據丟失,只知道從這位參加測試的學生中隨機抽取一位,抽到運動協(xié)調能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率為.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）從參加測試的位學生中任意抽取位,求其中至少有一位運動協(xié)調能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率;

（III）從參加測試的位學生中任意抽取位,設運動協(xié)調能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生人數為,求隨機變量的分布列.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為也為拋物線的焦點，點為在第一象限的交點，且.

(I)求橢圓的方程；

(II)延長,交橢圓于點,交拋物線于點,求三角形的面積.

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【題目】近年來，隨著我國汽車消費水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展．某汽車交易市場對2017年成交的二手車交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖1．

圖1 圖2

（1）記“在年成交的二手車中隨機選取一輛，該車的使用年限在”為事件，試估計的概率；

（2）根據該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2，其中(單位：年)表示二手車的使用時間，(單位：萬元)表示相應的二手車的平均交易價格．由散點圖看出，可采用作為二手車平均交易價格關于其使用年限的回歸方程，相關數據如下表（表中，）：

5.5

8.7

1.9

301.4

79.75

385

①根據回歸方程類型及表中數據，建立關于的回歸方程；

②該汽車交易市場對使用8年以內(含8年)的二手車收取成交價格的傭金，對使用時間8年以上(不含8年)的二手車收取成交價格的傭金．在圖1對使用時間的分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值．若以2017年的數據作為決策依據，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金．

附注：①對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；

②參考數據：．

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【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；

（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：

箱產量＜50 kg

箱產量≥50 kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.

附：

P（）

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

.

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【題目】我國古代數學專著《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻題”，其內容為：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢？各穿幾何？”如圖的程序框圖源于這個題目，執(zhí)行該程序框圖，若輸入x=20，則輸出的結果為（　　）

A. 3B. 4C. 5D. 6

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【題目】記為數列的前項和．“任意正整數，均有”是“為遞增數列”的

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