Question

9．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+ax+2的導函數(shù)f′（x）在（-∞，1）內(nèi)有最小值，若函數(shù)g（x）=$\frac{f′（x）}{x}$，則（　　）

• A． g（x）在（1，+∞）上有最大值
• B． g（x）在（1，+∞）上有最小值
• C． g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)
• D． g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)

Answer 1

分析 利用導函數(shù)的最小值求出a的范圍，然后求解新函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+ax+2的導函數(shù)f′（x）=x²-2ax+a．對稱軸為：x=a，
導函數(shù)f′（x）在（-∞，1）內(nèi)有最小值，
令x²-2ax+a=0，可得方程在（-∞，1）有兩個根，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{△=4{a}^{2}-4a＞0}\\{{1}^{2}-2a+a＞0}\end{array}\right.$，解得：a＜0
函數(shù)g（x）=$\frac{f′（x）}{x}$=x+$\frac{a}{x}$-2a．
g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
x∈（1，+∞），$\frac{a}{{x}^{2}}＜0$，
1-$\frac{a}{{x}^{2}}＞0$，∴g′（x）＞0，
g（x）在在（1，+∞）上為增函數(shù)．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)與導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．