Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一點E，使得∠BA₁E=45°，若存在，試確定E的位置，并求此時二面角A₁-BD-E的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出A₁B⊥AB₁，A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，由此能夠證明B1C1 ⊥平面ABB₁A 1 ．
（Ⅱ）設AB=BB₁=a，CE=x，由余弦定理求出x=

1

2

a，從而得到DE⊥平面A₁BD，進而得到平面A₁BD⊥平面BDE，由此求出二面角A₁-BD-E的大小為90°．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB=BB 1 ，∴四邊形ABB₁A₁為正方形，
∴A₁B⊥AB₁，（2分）
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁，（4分）
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B1C1 ⊥平面ABB₁A 1 ．（5分）
（Ⅱ）解：設AB=BB₁=a，CE=x，
∵D為AC的中點，且AC₁⊥A₁D，∴A1B=A1 C1=

2

a，
又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴B₁C₁⊥A₁B₁，
∴B₁C₁=a，BE=

a2+x2

，A1E=

2a2+(a-x)2

=

3a2+x2-2ax

，
在△A₁BE中，由余弦定理得BE²=A₁B²+A₁E²-2A₁B•A₁Ecos45°，
即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2

3a2+x2-2ax

•

2

a•

2

2

，
∴

3a2+x2-2ax

=2a-x，x=

1

2

a，即E是CC₁的中點，（9分）
∵D、E分別為AC、CC₁的中點，∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD，
又∵DE?平面BDE，∴平面A₁BD⊥平面BDE．（11分）
故二面角A₁-BD-E的大小為90°．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．