已知a、b是不共線的向量,
AB
=λa+b
,
AC
=a+μb
(λ,μ∈R),則A、B、C三點共線的充要條件是
 
分析:先求A、B、C三點共線的充要條件,我們要先根據(jù)已知條件a、b是不共線的向量,
AB
=λa+b
AC
=a+μb
(λ,μ∈R),判斷λ與μ滿足的關(guān)系;并以此關(guān)系為已知條件,看能不能反推回來得到A、B、C三點共線.如果兩個過程都是可以的,該關(guān)系式即為所求.
解答:解:由于
AB
,
AC
有公共點A,
∴若A、B、C三點共線
AB
AC
共線
即存在一個實數(shù)t,使
AB
=t
AC

λ=at
1=μt

消去參數(shù)t得:λμ=1
反之,當(dāng)λμ=1時
AB
=
1
μ
a+b

此時存在實數(shù)
1
μ
使
AB
=
1
μ
AC

AB
AC
共線
又由
AB
,
AC
有公共點A,
∴A、B、C三點共線
故A、B、C三點共線的充要條件是λμ=1
點評:判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
、
b
是不共線的向量,
AB
a
+
b
,
AC
=
a
b
(λ,μ∈R),那么A、B、C三點共線的充要條件為( 。
A、λ+μ=1B、λ-μ=1
C、λμ=-1D、λμ=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
b
是不共線的向量,若
AB
=λ1
a
+
b
,
AC
=
a
+λ2
b
(λ1,λ2∈R)
,則A、B、C三點共線的充要條件為( 。
A、λ12=-1
B、λ12=1
C、λ1λ2-1=0
D、λ1•λ2+1=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
、
b
是不共線的向量,且
a
=(5cosα,5sinα),
b
=(5cosβ,5sinβ)
(1)求證:
a
+
b
a
-
b
垂直.
(2)若|
a
+
b
|=5
3
,求cos(α-β)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
是不共線的向量,且
AB
1
a
+
b
AC
=
a
2
b
,(λ1,λ2∈R),若A、B、C三點共線,則λ1,λ2滿足(  )

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