Question

10．在數(shù)列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=$\frac{a_n}{2^n}$，求證數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；
 （3）在（2）的條件下設(shè)d_n=$\frac{1}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$，求{d_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）S_n+1=4a_n+2，n≥2時(shí)，可得：S_n=4a_n-1+2，相減可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，變形為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可證明．
  （2）由（1）可得：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，n≥2．可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，即c_n-c_n-1=$\frac{3}{2}$，即可證明．
（3）在（2）的條件下，c_n=$\frac{3n-2}{2}$．可得d_n=$\frac{1}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$=$\frac{4}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{4}{3}$$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n+1=4a_n+2，n≥2時(shí)，可得：S_n=4a_n-1+2，相減可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
變形為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1，
n=1時(shí)，a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1．解得a₂=5．
∴a₂-2a₁=3．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為2．
  （2）證明：由（1）可得：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，n≥2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，即c_n-c_n-1=$\frac{3}{2}$，c₁=$\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{3}{2}$．
（3）解：在（2）的條件下，c_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}（n-1）$=$\frac{3n-2}{2}$．
d_n=$\frac{1}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$=$\frac{4}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{4}{3}$$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴{d_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{4}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{4}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{4}{3n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．