Question

9．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}&{\;}\\{2x+y≥2}&{\;}\\{y≥0}&{\;}\end{array}\right.$，則z=ax+y的最小值為1，則a=1．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答 解：作出不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}&{\;}\\{2x+y≥2}&{\;}\\{y≥0}&{\;}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0，則y=z，此時(shí)z=ax+y的最小值為0，不滿足條件．
若a＞0，則y=-ax+z的斜率-a＜0．此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)B（1，0）時(shí)取得最小值1，
此時(shí)a+0=1，解得a=1，滿足條件．
若a＜0，則y=-ax+z的斜率-a＞0．要是目標(biāo)函數(shù)取得最小值1，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-a＞0}\\{2a+0=1}\end{array}\right.$，此時(shí)不等式無(wú)解，不滿足條件．
綜上：a=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的最小值為2，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．