已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值.
(3)若曲線y=f(x)與直線y=b 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求b的取值范圍.
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由已知中函數(shù)的解析式,求導(dǎo)后判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得f(x)的最小值;
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,則f′(a)=0,b=f(a),進(jìn)而可得a與b的值;
(3)當(dāng)b≤1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個(gè)交點(diǎn);若曲線y=f(x)與直線y=b 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則b>1.
解答: 解:(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx,
得f′(x)=2x+sinx+xcosx-sinx=x(2+cosx).…(1分)
令f′(x)=0,得x=0.…(2分)
列表如下:
  …(4分)
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,
在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(0)=1是f(x)的最小值.…(5分)
(2)∵曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,
∴f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a),…(7分)
解得a=0,b=f(0)=1.…(9分)
(3)當(dāng)b≤1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)b>1時(shí),f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,
∴存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.…(12分)
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上均單調(diào),
∴當(dāng)b>1時(shí)曲線y=f(x)與直線y=b有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).…(13分)
綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么b取值范圍是(1,+∞).…(14分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)法研究曲線的切線,是導(dǎo)數(shù)較為綜合的應(yīng)用,難度中檔.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)常數(shù)a∈R,若(x2+
a
x
)5
的二項(xiàng)展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為20,則a=
 

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執(zhí)行所示的程序框圖,如果輸入a=3,那么輸出的n的值為(  )
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圓錐底面半徑為r,母線長是底面半徑的3倍,在底面圓周上有一點(diǎn)A,求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自A出發(fā)在側(cè)面上繞一周到A點(diǎn)的最短路程.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,短軸長是2.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D,過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1,l2,這兩條直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N.設(shè)l1的斜率為k(k≠0),△DMN的面積為S,當(dāng)
S
|k|
16
9
時(shí),求k的取值范圍.

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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)A,△AF1F2為正三角形,以線段F1F2為直徑的圓與直線y═
3
x-4相切.

(1)求橢圓C的方程和離心率.

(2)若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F1關(guān)于直線x=-
5
2
的對稱點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足
|MF1|
|MF2|
=e,問是否存在一定點(diǎn)T,使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值?若存在,求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值,若不存在,請說明理由.

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已知拋物線x=
1
4
y2的焦點(diǎn)與橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)重合,F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),Q是橢圓C上任意一點(diǎn),且
QF1
QF2
的最大值是3.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0),使得PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,請說明理由.

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已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=1,公差d≠0,若ak1,ak2,ak3,…,akn,…成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=5,則數(shù)列{kn}的通項(xiàng)公式kn=
 

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