Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁：（x-3）²+y²=9，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₂的圓心的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），半徑為1．
（1）求圓C₁的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C₁與圓C₂交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）圓C₁：（x-3）²+y²=9，展開可得：x²+y²-6x=0，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（2）圓C₂的圓心的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），化為直角坐標(biāo)（1，1），可得圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+（y-1）²=1，由圓C₁與圓C₂的方程相減可得公共弦所在的直線方程：4x-2y+1=0，求出圓心（1，1）到直線的距離d，利用弦長|AB|=2$\sqrt{1-pvjthtb^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）圓C₁：（x-3）²+y²=9，展開可得：x²+y²-6x=0，
可得極坐標(biāo)方程：ρ²-6ρcosθ=0，化為ρ=6cosθ．
（2）圓C₂的圓心的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），
化為直角坐標(biāo)（1，1），可得圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+（y-1）²=1，
由圓C₁與圓C₂的方程相減可得公共弦所在的直線方程：4x-2y+1=0，
圓心（1，1）到直線的距離d=$\frac{|4-2+1|}{\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{20}}$，
∴弦長|AB|=2$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{20}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{55}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了曲線的相交弦長、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．