Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=b+aln（x-1），存在實數(shù) a（a≥1），使y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象無公共點，則實數(shù)b的取值范圍為（-∞，$\frac{3}{4}$+ln2）．

Answer 1

分析 若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象無公共點，則等價為f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行求解即可．

解答 解：若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象無公共點，
則等價為f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，
即x²-ax-b-aln（x-1）＞0或x²-ax-b-aln（x-1）＜0恒成立，
即x²-ax-aln（x-1）＞b或x²-ax-aln（x-1）＜b恒成立，
設(shè)h（x）=x²-ax-aln（x-1），則函數(shù)h（x）的定義域為（1，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
當(dāng)a≥1時，$\frac{a+2}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
故x∈（1，$\frac{a+2}{2}$）時，h′（x）＜0，
x∈（$\frac{a+2}{2}$，+∞）時，h′（x）＞0，
即當(dāng)x=$\frac{a+2}{2}$時，函數(shù)h（x）取得極小值同時也是最小值h（$\frac{a+2}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
設(shè)G（a）=h（$\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
則G（a）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
G（a）的最大值為G（1）=$\frac{3}{4}$，
故h（x）的最小值h（$\frac{a+2}{2}$）≤$\frac{3}{4}$，
則若x²-ax-aln（x-1）＞b，
則b＜$\frac{3}{4}$+ln2，
若x²-ax-aln（x-1）＜b恒成立，則不成立，
綜上b＜$\frac{3}{4}$+ln2．
故答案為：（-∞，$\frac{3}{4}$+ln2）．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象相交問題，構(gòu)造函數(shù)，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，屬于中檔題．