Question

記函數(shù)f_n(x)＝a·xⁿ－1(a∈R，n∈N^*)的導(dǎo)函數(shù)為f′_n(x)，已知f′₃(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)設(shè)函數(shù)g_n(x)＝f_n(x)－n²ln x，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)g_n(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出所有n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若實(shí)數(shù)x₀和m(m>0且m≠1)滿(mǎn)足＝，試比較x₀與m的大小，并加以證明．

Answer 1

（1）a＝1   （2）存在n＝1，使得函數(shù)g_n(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
（3）見(jiàn)解析

解：(1)f₃′(x)＝3ax²，由f₃′(2)＝12得a＝1.
(2)g_n(x)＝xⁿ－n²ln x－1，
g′_n(x)＝nx^n－1－＝.
因?yàn)閤>0，令g_n′(x)＝0得x＝，
當(dāng)x>時(shí)，g_n′(x)>0，g_n(x)是增函數(shù)；
當(dāng)0<x<時(shí)，g_n′(x)<0，g_n(x)是減函數(shù)．
所以當(dāng)x＝時(shí)，g_n(x)有極小值，也是最小值，
g_n()＝n－nln n－1.
當(dāng)x→0時(shí)，g_n(x)→＋∞；
當(dāng)x→＋∞時(shí)，g_n(x)→＋∞.
當(dāng)n≥3時(shí)，g_n()＝n(1－ln n)－1<0，函數(shù)g_n(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)n＝2時(shí)，g_n()＝－2ln 2＋1<0，函數(shù)g_n(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)n＝1時(shí)，g_n()＝0，函數(shù)g_n(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，存在n＝1，使得函數(shù)g_n(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
(3)f_n′(x)＝n·x^n－1.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052755139909.png" style="vertical-align:middle;" />＝，
所以＝，
解得x₀＝.
則x₀－m＝，
當(dāng)m>1時(shí)，(n＋1)(mⁿ－1)>0.
設(shè)h(x)＝－x^n＋1＋x(n＋1)－n(x≥1)，則h′(x)＝－(n＋1)xⁿ＋n＋1＝－(n＋1)·(xⁿ－1)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，
所以h(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．
又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，
所以x₀－m<0，所以x₀<m.
當(dāng)0<m<1時(shí)，(n＋1)(mⁿ－1)<0.
設(shè)h(x)＝－x^n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，
則h′(x)＝－(n＋1)xⁿ＋n＋1＝－(n＋1)·(xⁿ－1)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，所以h(x)在(0,1]上是增函數(shù)．
又因?yàn)?<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，
所以x₀－m>0，所以x₀>m.
綜上所述，當(dāng)m>1時(shí)，x₀<m，當(dāng)0<m<1時(shí)，x₀>m.