Question

19．已知函數(shù)f（x）=|2x-4|．
（1）解不等式f（x）+f（1-x）≤10；
（2）若a+b=4，證明：f（a²）+f（b²）≥8．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解不等式；
（2）把b=4-a代入f（b²），得出f（a²）+f（b²）關(guān)于a的解析式，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）+f（1-x）≤10，
即|2x-4|+|2+2x|≤10．即|x-2|+|x+1|≤5，
當(dāng)x≤-1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為2-x-x-1≤5，解得-2≤x≤-1，
當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為2-x+x+1≤5，不等式恒成立，
當(dāng)x≥2時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為x-2+x+1≤5，解得2≤x≤3．
∴不等式的解集為：{x|-2≤x≤3}．
（2）證明：若a+b=4，則b²=（4-a）²=a²-8a+16，
∴f（b²）=|2a²-16a+28|=2|a²-8a+14|，
∴f（a²）+f（b²）=2|a²-2|+2|a²-8a+14|
≥2|2a²-8a+12|=4|a²-4a+6|=4|（a-2）²+2|≥4×2=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．