【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)。(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)

求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;

證明:b>3a;

, 這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍。

【答案】(1),定義域?yàn)?/span>.(2)見(jiàn)解析(3).

【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù)的極值: ,再代入原函數(shù)得,化簡(jiǎn)可得,根據(jù)極值存在條件可得;(2)由(1)得,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,可得,即;(3)先求證的兩個(gè)極值之和為零,利用根與系數(shù)關(guān)系代入化簡(jiǎn)即得,再研究導(dǎo)函數(shù)極值不小于,構(gòu)造差函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性, 上單調(diào)遞減.而,故可得的取值范圍.

試題解析:解:(1)由,得.

當(dāng)時(shí), 有極小值.

因?yàn)?/span>的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

所以,又,故.

因?yàn)?/span>有極值,故有實(shí)根,從而,即.

時(shí), ,故在R上是增函數(shù), 沒(méi)有極值;

時(shí), 有兩個(gè)相異的實(shí)根 .

列表如下

x

+

0

0

+

極大值

極小值

的極值點(diǎn)是.

從而,

因此,定義域?yàn)?/span>.

(2)由(1)知, .

設(shè),則.

當(dāng)時(shí), ,從而上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>,所以,故,即.

因此.

(3)由(1)知, 的極值點(diǎn)是,且 .

從而

, 所有極值之和為,

因?yàn)?/span>的極值為,所以, .

因?yàn)?/span>,于是上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>,于是,故.

因此a的取值范圍為.

點(diǎn)睛:涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等,再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況,歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值,然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.

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年份

2005

2006

2007

2008

2009

2010

利潤(rùn)x

12.2

14.6

16

18

20.4

22.3

支出y

0.62

0.74

0.81

0.89

1

1.11

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,則(
A.利潤(rùn)中位數(shù)是16,x與y有正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系
B.利潤(rùn)中位數(shù)是18,x與y有負(fù)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系
C.利潤(rùn)中位數(shù)是17,x與y有正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系
D.利潤(rùn)中位數(shù)是17,x與y有負(fù)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系

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