Question

7．設(shè)點F₁、F₂分別為雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若在雙曲線左支上存在一點P，滿足|PF₁|=|PF₂|，點F₁到直線PF₂的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{41}}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，進而求出離心率．

解答 解：依題意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個等腰三角形，F(xiàn)₂在直線PF₁的投影是其中點，
由勾股定理知可知|PF₁|=2$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=4b
根據(jù)雙曲定義可知丨PF₁丨-|PF₂|=2a，即|4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得 $\frac{a}$=$\frac{4}{3}$；
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{5}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查三角形的性質(zhì)與雙曲線的定義的應用，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．