Question

4．甲乙兩名同學(xué)參加定點(diǎn)投籃測(cè)試，已知兩人投中的概率分別是$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$，假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒(méi)有影響，每人各次投球是否投中也沒(méi)有影響．
（Ⅰ）若每人投球3次（必須投完），投中2次或2次以上，記為達(dá)標(biāo)，求甲達(dá)標(biāo)的概率；
（Ⅱ）若每人有4次投球機(jī)會(huì)，如果連續(xù)兩次投中，則記為達(dá)標(biāo)．達(dá)標(biāo)或能斷定不達(dá)標(biāo)，則終止投籃．記乙本次測(cè)試投球的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“甲達(dá)標(biāo)”為事件A，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，能求出甲達(dá)標(biāo)的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記“甲達(dá)標(biāo)”為事件A，
則$P（A）=C_3^2×{（{\frac{1}{2}}）^2}$×$\frac{1}{2}+{（{\frac{1}{2}}）^3}=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）X的所有可能取值為2，3，4．
$P（{X=2}）={（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（{X=3}）=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+$${（{\frac{1}{3}}）^3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，
$P（{X=4}）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+$$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，
所以X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$

$EX=2×\frac{4}{9}+3×\frac{1}{3}$$+4×\frac{2}{9}=\frac{25}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．