Question

1．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜φ＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=4sinθ．
（Ⅰ） 求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用三種方程的互化方法，求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）將直線l的參數(shù)方程代入x²=4y，得t²sinφ-4tcosφ-4=0，利用韋達(dá)定理，即可求|AB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$消去t得直線l的普通方程為xcosφ-ysinφ+sinφ=0．…（2分）
由曲線ρcos²θ=4sinθ 即 ρ²cos²θ=4ρsinθ，它的直角坐標(biāo)方程為 x²=4y．…（5分）
（II） 將直線l的參數(shù)方程代入x²=4y，得t²sinφ-4tcosφ-4=0，…（6分）
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=$\frac{4cosφ}{si{n}^{2}φ}$，t₁t₂=-$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$，…（7分）
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$．…（9分）
當(dāng)φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，|AB|的最小值為4．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．