Question

15．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：a_n²=2S_n-a_n（n∈N₊）
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n，是否存在整數(shù)λ（λ≠0），使b_n+1＞b_n對(duì)一切n∈N₊恒成立？若存在，求出λ；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于a_n＞0，可得a_n-a_n-1=1，即可得出．
（2）由b_n+1＞b_n，化為${（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}＞{（{-1}）^{n-1}}λ$，對(duì)n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵${a_n}^2=2{S_n}-{a_n}$，${a_{n-1}}^2=2{S_{n-1}}-{a_{n-1}}（{n≥2}）$，
∴${a_n}^2-{a_{n-1}}^2-（{{a_n}+{a_{n-1}}}）=0$，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，∴{a_n}是等差數(shù)列，a_n=n．
（2）∵b_n+1＞b_n，∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ，
化為2×3ⁿ＞（-1）^n-1λ•3×2ⁿ，
∴${（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}＞{（{-1}）^{n-1}}λ$，
∴n為奇數(shù)時(shí)，λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，由于f（n）=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$單調(diào)遞增，∴λ＜1．
n為偶數(shù)時(shí)，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，由于g（n）=-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$單調(diào)遞減，∴λ＞-$\frac{3}{2}$．．
∴$-\frac{3}{2}＜λ＜1$，由于λ為整數(shù)，∴λ=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、不等式解法、數(shù)列的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．