Question

13．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，P為側(cè)棱SD上的點．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）連BD，設(shè)AC交BD于O，則SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD?平面SBD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AC⊥SD．
（2）設(shè)正方形邊長a，求出SD、OD，得到∠SDO，連OP，根據(jù)（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，則AC⊥OP，且AC⊥OD，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠POD是二面角P-AC-D的平面角，然后在三角形POD求出此角即可．

解答 解：（1）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（2）設(shè)正方形邊長a，則SD=$\sqrt{2}$a．
又OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，所以∠SDO=60°，
連OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小為30°．

點評 本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，以及二面角的度量，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．