Question

20．如圖所示，點O為正方體ABCD  A′B′C′D′的中心，點E為棱B′B的中點，若AB=1，則下面說法正確的是（　�。�

• A． 直線AC與直線EC′所成角為45°
• B． 點E到平面OCD′的距離為$\frac{1}{2}$
• C． 四面體O  EA′B′在平面ABCD上的射影是面積為$\frac{1}{6}$的三角形
• D． 過點O，E，C的平面截正方體所得截面的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 分別計算各選項的問題，得出結論．

解答 解：對于A，連結A′C′，A′E，C′E，則A′C′∥AC，

∴∠A′C′E為直線AC與直線EC′所成角，
在△A′C′E中，A′C′=$\sqrt{2}$，A′E=C′E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠A′C′E=$\frac{2+\frac{5}{4}-\frac{5}{4}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直線AC與直線EC′所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，故A錯誤；
對于B，連結CD′，A′B，則O∈平面BCD′A′，

∴B′到平面BCD′A′的距離為$\frac{1}{2}$AB′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E到平面BCD′A′的距離為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故B錯誤；
對于C，O在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心，A′的射影為A，B′和E在底面的射影為B，

∴四面體O  EA′B′在平面ABCD上的射影是面積為$\frac{1}{4}$的三角形，故C錯誤；
對于D，取DD′中點F，連結A′E，A′F，CE，CF，則菱形CEA′F是過O，C，E的平面與正方體的截面，

∵EF=$\sqrt{2}$，A′C=$\sqrt{3}$，∴截面面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．故D正確．
故選D．

點評 本題考查了正方體的結構特征，屬于中檔題．