Question

11．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面AA₁C₁C為正方形，側面AA₁B₁B⊥側面BB₁C₁C，且AC=2，AB=$\sqrt{2}$，∠A₁AB=45°，E、F分別為AA₁、CC₁的中點．
（1）求證：AA₁⊥平面BEF；
（2）求二面角B-EB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BE⊥AA₁，BE⊥BB₁，從而BE⊥平面BB₁C₁C，由此能證明AA₁⊥平面BEF．
（2）以BF為x軸，BE為y軸，B₁B為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-EB₁-C₁的余弦值．

解答 證明：（1）$AB=\sqrt{2}$，∠A₁AB=45°，AE=1，故BE⊥AA₁．
又AA₁∥BB₁，故BE⊥BB₁，又側面AA₁B₁B⊥側面BB₁C₁C
故BE⊥平面BB₁C₁C．EF∥AC，AC⊥AA₁，EF⊥AA₁，
故AA₁⊥平面BEF．
解：（2）以BF為x軸，BE為y軸，B₁B為z軸，建立空間直角坐標系．
則E（0，1，0），B₁（0，0，-2），${C_1}（{\sqrt{3}，0，-1}）$
平面BEB₁的法向量為$\overrightarrow{n}$（1，0，0），
$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（0，-1，-2），$\overrightarrow{E{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），
設平面EB₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=-y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{C}_{1}}=\sqrt{3}x-y-z=0}\end{array}\right.$，
取y=2，得$\overrightarrow{m}$=$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，2，-1}）$，
設二面角B-EB₁-C₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{1}{3}+4+1}}$=$\frac{1}{4}$．
∴二面角B-EB₁-C₁的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．