Question

2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，且b=2$\sqrt{2}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由條件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得 cosB=$\frac{1}{3}$．
（2）由兩個向量的數(shù)量積的定義得到ac=6，再由余弦定理可得a²+c²=12，解方程組可求得a和c的值．

解答 解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，
因為A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，所以sin（B+C）=sinA≠0，
因此cosB=$\frac{1}{3}$．
（2）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=$\frac{1}{3}$ac=2，即ac=6，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，所以a²+c²=12，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{ac=6}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=12}\end{array}\right.$，
得 a=c=$\sqrt{6}$．
所以a+c=2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查兩角和的正弦公式，余弦定理的應(yīng)用，以及兩個向量的數(shù)量積的定義．