Question

15．設定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，點A、B的坐標分別為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））且M（x，f（x））為圖象C上的任意一點，O為坐標原點，當實數(shù)λ滿足x=λx₁+（1-λ）x₂時，記向量$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$．若|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似，其中k是一個確定的正數(shù)．
（1）設函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上可在標準k下線性近似，求k的取值范圍；
（2）已知函數(shù)g（x）=lnx的反函數(shù)為h（x），函數(shù)F（x）=[h（x）]^a-x，（a≠0），點C（x₁，F(xiàn)（x₁））、D（x₂，F(xiàn)（x₂）），記直線CD的斜率為μ，若x₁-x₂＜0，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使F′（x₀）＞μ成立？若存在，求x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上可在標準k下線性近似，結(jié)合函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似的定義，可得k的取值范圍；
（2）存在$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}$成立，且x₀的取值范圍為（$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}$，x₂），結(jié)合零點存在定理，可證得結(jié)論．

解答 解：（1）由x=λx₁+（1-λ）x₂與$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$．，
得N和M的橫坐標相同．
對于區(qū)間[0，1]上的函數(shù)f（x）=x²，A（0，0），B（1，1），
則有|$\overrightarrow{MN}$|=x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴|$\overrightarrow{MN}$|∈[0，$\frac{1}{4}$]，
再由|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，可得k≥$\frac{1}{4}$．
故k的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（2）由題意知，μ=$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-1，
 令G（x）=F′（x）-μ=ae^ax-$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
則G（x₁）=${ae}^{a{x}_{1}}$-$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
G（x₂）=${ae}^{a{x}_{2}}$-$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令φ（t）=-t+e^t-1．則φ′（t）=-1+e^t，
當t＜0時，φ′（t）＜0，φ（t）單調(diào)遞減；
當t＞0時，φ′（t）＞0，φ（t）單調(diào)遞增．
故當t≠0時，φ（t）＞φ（0）=0，
即-t+e^t-1＞0，
又∵x₁-x₂＜0，
從而G（x₁）＜0，G（x₂）＜0．
由零點存在性定理可得：存在c∈（x₁，x₂），使得G（c）=0，
又G′（x）=ae^ax＞0，所以G（x）單調(diào)遞增，故存在唯一的c，使得G（c）=0．
由G（c）=0得：c=$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}$．
故當且僅當x₀∈（$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}$，x₂），使F′（x₀）＞μ
綜上所述，存在$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}$成立，且x₀的取值范圍為（$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{1}}-{e}^{{ax}_{2}}}{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}$，x₂）

點評 本題考查的知識點是利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點存在定理，存在性問題，向量法表述三點共線的充要條件，綜合性強，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．