Question

如圖，點(diǎn)A₀位于坐標(biāo)原點(diǎn)，A₁，A₂，A₃，…，A_n，…在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B_n，…在拋物線(xiàn)x²=

3

2

y在第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A_n-1B_nA_n，﹒﹒﹒都是正三角形，則△A₂₀₁₃B₂₀₁₄C₂₀₁₄的周長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別過(guò)B₁，B₂，B₃作y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為A、B、C，代入計(jì)算，尋找規(guī)律，可得△A₂₀₁₃B₂₀₁₄C₂₀₁₄的邊長(zhǎng)=2014，周長(zhǎng)為6042．

解答： 解：分別過(guò)B₁，B₂，B₃作y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為A、B、C，
設(shè)A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，則AB₁=

3

2

a，BB₂=

3

2

b，CB₃=

3

2

c，
在正△A₀B₁A₁中，B₁（

3

2

a，

a

2

），
代入x²=

3

2

y中，得

a

2

=

2

3

•（

3

2

a）²，解得a=1，即A₀A₁=1，
在正△A₁B₂A₂中，B₂（

3

2

b，1+

b

2

），
代入x²=

3

2

y中，得1+

b

2

=

2

3

•（

3

2

b）²，解得b=2，即A₁A₂=2，
在正△A₂B₃A₃中，B₃（

3

2

c，3+

c

2

），
代入x²=

3

2

y中，得3+

c

2

=

2

3

•（

3

2

c）²，解得c=3，即A₂A₃=3，
由此可得△A₂₀₁₃B₂₀₁₄C₂₀₁₄的邊長(zhǎng)=2014，周長(zhǎng)為6042．
故答案為：6042．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的性質(zhì)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)解析式求正三角形的邊長(zhǎng)，得到規(guī)律．