Question

4．已知點P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．若直線l過P且被圓C截得的線段長為4$\sqrt{3}$，則直線l的一般式方程為3x-4y+20=0或x=0．

Answer 1

分析 求出圓心和半徑．設(shè)過該點的直線方程，求圓心到直線的距離與半徑和半弦長構(gòu)成勾股定理，解出斜率k，即得到直線方程．

解答 解：∵圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，其圓心坐標(biāo)為（-2，6），半徑為r=4，點P（0，5），
設(shè)過P的直線方程為：y=kx+5，化為一般方程：kx-y+5=0
圓心到直線的距離d=$\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$．
∴d=$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴$（2{\sqrt{3}）^{2}+d}^{2}={r}^{2}$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
所以3x-4y+20=0，
又因為過某一點可以做兩條直線截得的弦長相等，而k只有一個值，那么另一個k值不存在，又要過P，
所以：直線方程為：x=0，
故填：3x-4y+20=0或x=0．

點評 本題考查了弦長問題．過某一點截得的弦長問題：如果弦長等于直徑，直線過圓心．否則必有兩條直線截得的弦長相等，設(shè)過該點的直線方程，求圓心到直線的距離與半徑和半弦長構(gòu)成勾股定理，解出斜率k，如果k只有一個值，那么另一個k值不存在，直線與y軸平行．屬于基礎(chǔ)題．