Question

1．若定義在[-m，m]（m＞0）上的函數(shù)f（x）=$\frac{4•a^x+2}{a^x+1}$+xcosx（a＞0，a≠1）的最大值和最小值分別是M、N，則M+N=6．

Answer 1

分析 f（x）可化為3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，則f（x）=g（x）+3，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得g（x）在[-1，1]上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{4•a^x+2}{a^x+1}$+xcosx（-1≤x≤1）
=3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
則f（x）=g（x）+3，
因?yàn)間（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$-xcos（-x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$-xcosx=-g（x），
且x∈[-1，1]，
所以g（x）在[-1，1]上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，
因?yàn)閒（x）和g（x）單調(diào)性相同，
所以f（x）取到最大值M時(shí)，相對(duì)應(yīng)的x下的g（x）也取最大值M-3，
同理f（x）有最小值m時(shí)，g（x）也取最小值N-3，
g（x）最大值M'=M-3，最小值N'=N-3，
因?yàn)間（x）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱可得
所以（M-3）+（N-3）=0，
所以M+N=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．