Question

8．a(chǎn)，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；
②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；
③直線AB與a所成角的最小值為45°；
④直線AB與a所成角的最小值為60°；
其中正確的是②③．（填寫所有正確結(jié)論的編號）

Answer 1

分析 由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|=1，|AB|=$\sqrt{2}$，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，
不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，
故|AC|=1，|AB|=$\sqrt{2}$，
斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，
B點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，
以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量$\overrightarrow{a}$=（0，1，0），|$\overrightarrow{a}$|=1，
直線b的方向單位向量$\overrightarrow$=（1，0，0），|$\overrightarrow$|=1，
設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），
∴AB′在運(yùn)動過程中的向量，$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（cosθ，sinθ，-1），|$\overrightarrow{A{B}^{'}}$|=$\sqrt{2}$，
設(shè)$\overrightarrow{A{B}^{'}}$與$\overrightarrow{a}$所成夾角為α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則cosα=$\frac{|（-cosθ，-sinθ，1）•（0，1，0）|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{A{B}^{'}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|sinθ|∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴③正確，④錯誤．
設(shè)$\overrightarrow{A{B}^{'}}$與$\overrightarrow$所成夾角為β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
cosβ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow|}{|\overrightarrow{A{B}^{'}}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{|（-cosθ，sinθ，1）•（1，0，0）|}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{A{B}^{'}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|cosθ|，
當(dāng)$\overrightarrow{A{B}^{'}}$與$\overrightarrow{a}$夾角為60°時，即α=$\frac{π}{3}$，
|sinθ|=$\sqrt{2}cosα$=$\sqrt{2}cos\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵cos²θ+sin²θ=1，∴cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|cosθ|=$\frac{1}{2}$，
∵β∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴β=$\frac{π}{3}$，此時$\overrightarrow{A{B}^{'}}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴②正確，①錯誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．