Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過點$（2，\sqrt{6}）$，過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線l上的動點（點M與點A不重合），點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點P．
（1）求橢圓C的方程．
（2）求證：AP⊥OM．
（3）試問：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率和點在橢圓上，列方程解得即可，
（2）設(shè)直線BM的斜率為k，直線BM的方程為：y=k（x-4），設(shè)P（x₁，y₁），與橢圓方程聯(lián)立可得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-16=0，解得x₁，x₂．可得P坐標，由y=k（x-4），解得M（-4，-4k），只要證明AP•OM=0，即可得出．
（3）利用數(shù)量積運算即可得出是否為定值．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過點$（2，\sqrt{6}）$，
∴e²=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{6}{^{2}}$=1，
解得a²=16，b²=8
∴$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$，
（2）由（1）知，A（-4，0），B（4，0），直線BM斜率顯然存在，
設(shè)BM方程為y=k（x-4），則M（-4，-8k），設(shè)P（x₁，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-16=0，△＞0，
解得x₁=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，x₂=4，
y₁=$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$，
∴P（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{OM}$=（-4，-8k），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$×（-4）+$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$×（-8k）=0，
∴AP⊥OM．
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$×（-4）+$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$×（-8k）=$\frac{16（1+2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$=16

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到交點坐標、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．