Question

1．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）無極值
• B． 當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的極小值小于0
• C． 當(dāng)a=2時(shí)，x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
• D． ?a∈R，f（x）必有零點(diǎn)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及a的范圍分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-a≥2-a，
故-2＜a＜2時(shí)，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）遞增，函數(shù)無極值，
故A正確；
（2）a＞2時(shí)，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4＞0，
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞0，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）遞增，在$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）遞增；
故f（x）的極小值是f（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）=ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$+$\frac{1}{2}$＜lna-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
令h（a）=lna-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，（a＞2），h′（a）=$\frac{1}{a}$-a＜0，
故h（a）在（2，+∞）遞減，h（a）＜h（2）=ln2-$\frac{3}{2}$＜0，
故a＞2時(shí)，f（x）的極小值小于0，
故B正確；
（3）a=2時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，f（x）遞增，無極值點(diǎn)，
故C錯(cuò)誤；
（4）x→0時(shí)，f（x）→-∞，
x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
顯然f（x）有零點(diǎn)，
故D正確；
故選；C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．