Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有意義．對于給定的正數(shù)K，已知函數(shù)f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函數(shù)f（x）=3-x-e^-x．若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K=f（x），則K的最小值為

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導數(shù)f′（x）=-1+e^-x=

1-ex

ex

，判斷單調(diào)性，求極值，得出最值，把不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．

解答： 解：根據(jù)題意可得：f（x）≤k恒成立，
∵函數(shù)f（x）=3-x-e^-x，
∴3-x-e^-x≤k，
∵f′（x）=-1+e^-x=

1-ex

ex

∴f′（x）=

1-ex

ex

=0，e^x=1，x=0，
f′（x）=

1-ex

ex

＞0，e^x＜1，x＜0，
f′（x）=

1-ex

ex

＜0，e^x＞1，x＞0，
∴函數(shù)f（x）=3-x-e^-x在（-∞，0）單調(diào)遞增，在（0，+∞）單調(diào)遞減，
當x=0時，f（x）的最大值為f（0），
f（0）=3-0-1=2，
f（x）≤2，
所以3-x-e^-x≤k，恒成立，則k的最小值為2．
故答案為：2

點評：本題綜合考查了導數(shù)在函數(shù)求解最值中的應(yīng)用，運用不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，屬于中等題．