設(shè)向量
a
=(sin(x-
π
3
)，cos(x-
π
3
))，
b
=(cos(φ+
5π
6
)，sin(φ+
5π
6
))，若函數(shù)f（x）=
a
•
b
（0＜φ＜
π
2
）在x=-
π
3
處取得最大值．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知A為△ABC的內(nèi)角，若f(A)=
1
4
，求f(
A+?
2
)的值．
分析：（1）利用數(shù)量積將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用在x=-
π
3
處取得最大值，確定φ的值，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間．
（2）利用余弦的倍角公式求f(
A+?
2
)即可．
解答：解：∵向量
a
=(sin(x-
π
3
)，cos(x-
π
3
))，
b
=(cos(φ+
5π
6
)，sin(φ+
5π
6
))
∴f（x）=
a
•
b
=sin（x-
π
3
）cos（φ+
5π
6
）+cos(x-
π
3
)sin（φ+
5π
6
）
=sin（x-
π
3
+φ+
5π
6
）=sin（x+φ+
π
2
）=cos（x+φ）．
∵f（x）在x=-
1
3
π取得最大值
∴-
1
3
π+φ=2kπ
∴φ=
1
3
π+2kπ
∴f（x）=cos（x+φ）=cos（x+
1
3
π+2kπ）=cos（x+
1
3
π）．
由2kπ-π≤x+
π
3
≤2kπ，解得2kπ-
4π
3
≤x≤2kπ-
π
3
，
當(dāng)k=0時(shí)，增區(qū)間為[-
4π
3
，-
π
3
]，
當(dāng)k=1時(shí)，增區(qū)間為[
2π
3
，
5π
3
]，
∵x∈[0，π]，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[
2π
3
，
5π
3
]．
（2）若f(A)=
1
4
，則f（A）=cos（A+
π
3
）=
1
4
，
∴f(
A+?
2
)=cos?(
A+
π
3
2
+kπ)=±cos?(
A+
π
3
2
)，
∵f（A）=cos（A+
π
3
）=
1
4
＜
1
2
，
∴0＜A+
π
3
＜
π
3
，0＜
A+
π
3
2
＜
π
6
，即f(
A+?
2
)＞0，
∴f(
A+?
2
)=cos?(
A+
π
3
2
)＞0．
則由cos?(A+
π
3
)=2cos?2(
A+
π
3
2
)-1=
1
4
，解得cos?2(
A+
π
3
2
)=
5
8
．
∴cos?(
A+
π
3
2
)=
5
8
=
10
4
，
即f(
A+?
2
)=
10
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinα，1-cosα)，
b
=(sinβ，1+cosβ)，
c
=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
的夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
3
，求tan（α-β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=x2-mx在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)向量
a
=(-sinα，2)，
b
=(-2sinα，
1
2
)，
c
=(cos2α，1)，
d
=(1，3)，求滿足不等式f(
a
•
b
)＞f(
c
•
d
)的α的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量a=(sinα，
3
2
)，b=(cosα，
1
2
)，且
a
∥
b
，則
a
的一個(gè)值為（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5π
12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練23練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.

(1)若|a|=|b|,求x的值;

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最大值.

 

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