Question

已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．設(shè)點(diǎn)，A（1，3），B（3，1），點(diǎn)M是線段AB上一動點(diǎn)，f：M→M′．當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上從點(diǎn)A開始運(yùn)動到點(diǎn)B結(jié)束時，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過的路線長度為________．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線的方程，設(shè)出兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)所給的映射的對應(yīng)法則得到兩個點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入直線的方程求出一個圓的方程，得到軌跡是一個圓弧，求出弧長．
解答：解：設(shè)點(diǎn)M′從A′開始運(yùn)動，直到點(diǎn)B′結(jié)束，由題意知AB的方程為：x+y=4．設(shè)M′（x，y），
則M（x²，y²），由點(diǎn)M在線段AB上可得 x²+y²=4．
按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，1），
故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．
tan∠B′OX==，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=，
點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過的路線長度為弧長 =∠A′OB′•r=×2=，
故答案為 ．
點(diǎn)評：本題考查弧長公式和軌跡方程，本題解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)點(diǎn)法求出點(diǎn)的軌跡，題目不大，但是涉及到的知識點(diǎn)不少，屬于基礎(chǔ)題．