【題目】已知函數(shù)g(x)=ax﹣ ﹣5lnx,其中a∈R.
(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)設函數(shù)h(x)=x2﹣mx+4,當a=2時,若x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(x1)≥h(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵g(x)=ax﹣ ﹣5lnx,

∴g′(x)=a+ =

若g′(x)>0,可得ax2﹣5x+a>0,在x>0上成立,

∴a> = ,求出 的最大值即可,

= (x=1時等號成立),

∴a ;


(2)解:當a=2時,可得,g(x)=2x﹣ ﹣5lnx,

h(x)=x2﹣mx+4=(x﹣ 2+4﹣ ,

x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(x1)≥h(x2)成立,

∴要求g(x)的最大值,大于h(x)的最大值即可,

g′(x)= = ,令g′(x)=0,

解得x1= ,x2=2,

當0<x< ,或x>2時,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);

<x<2時,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);

∵x1∈(0,1),

∴g(x)在x= 出取得極大值,也是最大值,

∴g(x)max=g( )=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3,

∵h(x)=x2﹣mx+4=(x﹣ 2+4﹣

若m≤3,hmax(x)=h(2)=4﹣2m+4=8﹣2m,

∴5ln2﹣3≥8﹣2m,∴m≥ ,

>3,故m不存在;

若m>3時,hmax(x)=h(1)=5﹣m,

∴5ln2﹣3≥5﹣m,∴m≥8﹣5ln2,

實數(shù)m的取值范圍:m≥8﹣5ln2


【解析】(1)將函數(shù)為增函數(shù),轉化為導函數(shù)大于等于0恒成立,分離出參數(shù)a,求出a的范圍;(2)對h(x)進行配方,討論其最值問題,根據(jù)題意x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(x1)≥h(x2)成立,只要要求g(x)max≥h(x)max , 即可,從而求出m的范圍;
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案.

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