Question

（2011•許昌一模）選修4-1；幾何證明選講
如圖，PA為⊙O的切線，PB為過圓心O的割線，PA=AB，以AB為直徑的圓交PB于C，交PA的延長(zhǎng)線于D．
（Ⅰ）求證：AC=AD；
（Ⅱ）若PA=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如圖，連接OA，由AB為圓O′的直徑得到BD⊥PD；再利用切線的性質(zhì)可得OA⊥PD；利用平行線的性質(zhì)及OA∥BD，可得∠1=∠3．利用半徑相等可知∠1=∠2，進(jìn)而得到∠2=∠3，于是在圓O′中，

AC

=

AD

，即可得出AC=AD．   
（Ⅱ）利用等邊對(duì)等角及PA=AB，可得∠P=∠2=∠3；利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠P+∠2+∠3=90°，可得∠P=∠2=30°，故OE=OA=

1

2

OP．設(shè)⊙O的直徑為R，則PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16，可得R．

解答：解：（Ⅰ）如圖，連OA，因AB為圓O′的直徑，有BD⊥PD，
又PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，有OA⊥PD，
故OA∥BD，∠1=∠3，
又OA=OB，可知∠1=∠2，所以∠2=∠3，
在圓O′中，

AC

=

AD

，于是AC=AD．   
（Ⅱ）因PA=AB，故∠P=∠2=∠3，在Rt△BDP中，
∠P+∠2+∠3=90°，所以∠P=∠2=30°，
故OE=OA=

1

2

OP．
設(shè)⊙O的直徑為R，則PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16
可得R=

4 3

3

，故⊙O的直徑為

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、同圓中的相等圓周角與所對(duì)的弧的關(guān)系、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、切割線定理等是解題的關(guān)鍵．