Question

已知半徑為2，圓心在直線y=-x+2上的圓C．
（Ⅰ）當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，2）且與y軸相切時(shí)，求圓C的方程；
（Ⅱ）已知E（1，1），F(xiàn)（1，-3），若圓C上存在點(diǎn)Q，使|QF|²-|QE|²=32，求圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，-a+2），圓的方程為（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，利用圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，2）且與y軸相切，建立方程，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則由|QF|²-|QE|²=32得y=3，即Q在直線y=3上，根據(jù)Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，可得⊙C與直線y=3有交點(diǎn)，從而可求圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=-x+2上，
∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，-a+2），圓的方程為（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，
∵圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，2）且與y軸相切，
∴有

(2-a)2+[2-(-a+2)]2=4 |a|=2

解得a=2，
∴所求方程是：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則由|QF|²-|QE|²=32得：（x-1）²+（y+3）²-[（x-1）²+（y-1）²]=32，即y=3，
∴Q在直線y=3上，
∵Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，
∴⊙C與直線y=3有交點(diǎn)，
∵⊙C的圓心縱坐標(biāo)為-a+2，半徑為2，
∴⊙C與直線y=3有交點(diǎn)的充要條件是1≤-a+2≤5，
∴-3≤a≤1，即圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是-3≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．