Question

20．若對?x，y∈（0，+∞），不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，則正實數(shù)a的最大值是$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 設f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立即為4xlna≤f（x）（x，y∈（0，+∞））恒成立，運用基本不等式和參數(shù)分離可設2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0時恒成立，再令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，通過求導，判斷單調(diào)性，求得g（x）的最小值，即可求得正實數(shù)a的最大值．

解答 解：設f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，
即為不等式4xlna≤f（x）恒成立，即f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥2+2e^x-2（當且僅當y=0時，取等號），
故4xlna≤2+2e^x-2，即2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0時恒成立，
令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，得（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
原不等式恒成立即為4xlna≤f（x）（x，y∈（0，+∞））恒成立，
運用基本不等≥式和參數(shù)分離可設2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0時恒成立，
再令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，通過求導，
當x＞0時，h（x）遞增，由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根為2，
當x＞2時，h（x）遞增，當0＜x＜2時，g（x）遞減，
即有x=2時，g（x）取得最小值1，則有2lna≤1，∴0＜a≤$\sqrt{e}$，
∴正實數(shù)a的最大值是$\sqrt{e}$，
故答案為：$\sqrt{e}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離與構(gòu)造函數(shù)、運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是難點，屬于難題．