Question

1．設min{m，n}表示m、n二者中較小的一個，已知函數(shù)f（x）=x²+8x+14，g（x）=min{（$\frac{1}{2}$）^x-2，log₂（4x）}（x＞0），若?x₁∈[-5，a]（a≥-4），?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則a的最大值為（　�。�

• A． -4
• B． -3
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)新定義求出g（x）的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的g（x）的值域，再求出f（x）的值域，由?x₁∈[-5，a]（a≥-4），?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，故f（x）的值域是g（x）的子集，由此能求出實數(shù)a的最大值．

解答 解：當（$\frac{1}{2}$）^x-2=log₂（4x），解得x=1，
當0＜x≤1時，（$\frac{1}{2}$）^x-2≥log₂（4x），
當x＞1時，（$\frac{1}{2}$）^x-2＜log₂（4x），
∴g（x）=min{（$\frac{1}{2}$）^x-2，log₂（4x）}（x＞0）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（4x），0＜x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x-2}，x＞1}\end{array}\right.$，
∴當0＜x≤1時，g（x）的值域為（-∞，2]，當x＞1時，g（x）值域為（0，2），
∴g（x）的值域為（-∞，2]
∵f（x）=x²+8x+14=（x+4）²-2，其對稱軸為x=-4，
∴f（x）在[-5，-4]上為減函數(shù)，在（-4，a]上為增函數(shù)，
∵f（-5）=-1，f（a）=a²+8a+14
當-4≤a≤-3時，函數(shù)f（x）的值域為[-2，-1]，
當a＞-3時，函數(shù)f（x）的值域為[-2，a²+8a+14]，
∵?x₁∈[-5，a]（a≥-4），?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴a²+8a+14≤2，
解得-3＜a≤-2，
綜上所述a的范圍為[-4，-2]，
∴a的最大值為-2，
故選：C

點評 本題綜合考查了函數(shù)的性質，分類討論等思想，難度較大，關鍵是解題思路要清晰．