Question

13．如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁⊥底面ABC．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）已知點D是平面ABC內(nèi)一點，且四邊形ABCD為平行四邊形，在直線AA₁上是否存在點P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AC中點O，連結AO，BO，摔倒導出BO⊥面A₁ACC₁，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
（2）點P與A₁重合時，連結AD，CD，A₁D，推導出四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，從而A₁D∥B₁C，由此得到DP∥平面AB₁C．

解答 解：（1）取AC中點O，連結AO，BO，
∵在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁⊥底面ABC．
∴BO⊥面A₁ACC₁，∴BO⊥AO，A₁C=A₁A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC，
∴AO=BO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
V=S_△ABC•AO=$\frac{1}{2}×AC×BO×AO$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．
（2）點P與A₁重合時，DP∥平面AB₁C．
證明如下：
連結AD，CD，A₁D，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴A₁B₂$\underset{∥}{=}$AB$\underset{∥}{=}$CD，
∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，∴A₁D∥B₁C，
∵B₁C?平面AB₁C，A₁D?平面AB₁C，∴A₁D∥平面AB₁C，
∴DP∥平面AB₁C．

點評 本題考查三棱柱的體積的求法，考查滿足線面平行的點的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．